Будь в курсе последних новостей вместе со Snaryad.info подпишись на ленту новостей  

Главным образом его интересуют...

      Главным образом его интересуют три проблемы: суммирование бесконечных рядов, вычисление площади криволинейных фигур и проведение касательной к кривым. Когда он только приехал в Париж, то был, без сомнения, в этих вопросах дилетантом. Но с весны 1673 г. Лейбниц по совету Гюйгенса берется за методическое изучение предмета. Он штудирует всю доступную литературу: "Геометрию" Декарта, математические работы Паскаля, труды Джеймса Грегори, Валлиса и других знаменитых ученых XVII в., безошибочно угадывая новые пути решения. В результате он приходит к выводам фундаментальной важности, которые дают ему возможность построить интегральное и дифференциальное исчисления.

      Среди названных выше задач особую важность представляла задача о проведении касательной к произвольной кривой. Для ее решения Лейбниц использовал чисто геометрическое представление: он рассмотрел фигуру, которую назвал характеристическим треугольником. Это треугольник со сторонами dх, dу и ds, образованный разностью абсцисс dх и разностью ординат dу бесконечно близких точек кривой, а также отрезком дуги dу, соединяющей эти точки. Тогда касательную к кривой в данной точке можно рассматривать как предельное положение секущей, которая проходит через вершины характеристического треугольника, когда эти вершины неограниченно сближаются. Позднее Лейбниц показал, что производная dy/dx в данной точке (которая есть предел отношения dу/dх при dх стремящемся к нулю) есть не что иное, как тангенс угла касательной к кривой в этой точке. Более того, он показал, что класс задач о проведении касательной к кривой является обратным по отношению к задачам о вычислении площади криволинейных фигур, т. е., выражаясь современным языком, что дифференцирование является операцией, обратной интегрированию, и наоборот, в таком же смысле, как сложение является действием, обратным вычитанию, а умножение - делению. Наряду с этим он вывел простейшие правила дифференцирования и интегрирования.